मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं जैसे कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \cos \theta$ है। तो $\theta$ का अधिकतम मान क्या है,जहाँ $\theta \in [0, \pi]$ है?

यदि सदिश $a \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+b \hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+c \hat{k}$ समतलीय हैं,जहाँ $(a, b, c \neq 1)$,तो $\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं जिनके परिमाण क्रमशः $1, 2, 3$ हैं,तो $[\overline{a}+\overline{b}+\overline{c} \quad \overline{b}-\overline{a} \quad \overline{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $\overrightarrow{p}, \overrightarrow{q}, \overrightarrow{r}$ को $\overrightarrow{p}=\frac{\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}, \quad \overrightarrow{q}=\frac{\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}$ और $\overrightarrow{r}=\frac{\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}$ संबंधों द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{p}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक चतुष्फलक का आयतन, जिसकी कोरें $\hat{i}-\lambda \hat{j}+\hat{k}$, $\lambda \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$ हैं, $2$ है। यदि $\lambda$ एक पूर्णांक है, तो $|\lambda \hat{i}-3 \lambda \hat{j}+3 \hat{k}|=$

यदि समांतर षट्फलक (parallelepiped) जिसके किनारे सदिश $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ हैं,का आयतन $12$ है,तो उस चतुष्फलक (tetrahedron) का आयतन क्या होगा जिसके किनारे $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}$ और $\bar{c}+\bar{a}$ हैं?